Matematica discreta Esempi

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.64 \\ 1 & 0.223 \\ 2 & 0.09 \\ 3 & 0.027 \\ 4 & 0.013 \\ 5 & 0.007 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta $x$ assume una serie di valori separati (ad esempio $0$ , $1$ , $2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità $P (x)$ a ciascun valore possibile $x$ . Per ciascun valore $x$ , la probabilità $P (x)$ è compresa tra $0$ e $1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori $x$ possibili equivale a $1$ .

1. Per ogni $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

$0.64$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.64$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.3

$0.223$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.223$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.4

$0.09$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.09$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.5

$0.027$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.027$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.6

$0.013$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.013$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.7

$0.007$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.007$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.8

Per ogni $x$ , la probabilità $P (x)$ rientra tra $0$ e $1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.9

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di $x$ .

$0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007$

Passaggio 1.10

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di $x$ è $0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Somma $0.64$ e $0.223$ .

$0.863 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007$

Passaggio 1.10.2

Somma $0.863$ e $0.09$ .

$0.953 + 0.027 + 0.013 + 0.007$

Passaggio 1.10.3

Somma $0.953$ e $0.027$ .

$0.98 + 0.013 + 0.007$

Passaggio 1.10.4

Somma $0.98$ e $0.013$ .

$0.993 + 0.007$

Passaggio 1.10.5

Somma $0.993$ e $0.007$ .

$1$

Passaggio 1.11

Per ogni $x$ , la probabilità di $P (x)$ rientra tra $0$ e $1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili $x$ è uguale a $1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori $x$

Proprietà 2: $0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori $x$

Proprietà 2: $0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

$u = 0 \cdot 0.64 + 1 \cdot 0.223 + 2 \cdot 0.09 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $0$ per $0.64$ .

$u = 0 + 1 \cdot 0.223 + 2 \cdot 0.09 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Passaggio 3.2

Moltiplica $0.223$ per $1$ .

$u = 0 + 0.223 + 2 \cdot 0.09 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $0.09$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $0.027$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 0.081 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Passaggio 3.5

Moltiplica $4$ per $0.013$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 0.081 + 0.052 + 5 \cdot 0.007$

Passaggio 3.6

Moltiplica $5$ per $0.007$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 0.081 + 0.052 + 0.035$

Passaggio 4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $0$ e $0.223$ .

$u = 0.223 + 0.18 + 0.081 + 0.052 + 0.035$

Passaggio 4.2

Somma $0.223$ e $0.18$ .

$u = 0.403 + 0.081 + 0.052 + 0.035$

Passaggio 4.3

Somma $0.403$ e $0.081$ .

$u = 0.484 + 0.052 + 0.035$

Passaggio 4.4

Somma $0.484$ e $0.052$ .

$u = 0.536 + 0.035$

Passaggio 4.5

Somma $0.536$ e $0.035$ .

$u = 0.571$

Passaggio 5

La varianza di una distribuzione è una misura della dispersione ed è uguale al quadrato dello scarto quadratico medio.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Passaggio 6

Inserisci i valori noti.

${(0 - (0.571))}^{2} \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0.571$ .

${(0 - 0.571)}^{2} \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.2

Sottrai $0.571$ da $0$ .

${(- 0.571)}^{2} \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.3

Eleva $- 0.571$ alla potenza di $2$ .

$0.326041 \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $0.326041$ per $0.64$ .

$0.20866624 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0.571$ .

$0.20866624 + {(1 - 0.571)}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.6

Sottrai $0.571$ da $1$ .

$0.20866624 + {0.429}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.7

Eleva $0.429$ alla potenza di $2$ .

$0.20866624 + 0.184041 \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica $0.184041$ per $0.223$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.9

Moltiplica $- 1$ per $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + {(2 - 0.571)}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.10

Sottrai $0.571$ da $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + {1.429}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.11

Eleva $1.429$ alla potenza di $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 2.042041 \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.12

Moltiplica $2.042041$ per $0.09$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.13

Moltiplica $- 1$ per $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + {(3 - 0.571)}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.14

Sottrai $0.571$ da $3$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + {2.429}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.15

Eleva $2.429$ alla potenza di $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 5.900041 \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.16

Moltiplica $5.900041$ per $0.027$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.17

Moltiplica $- 1$ per $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + {(4 - 0.571)}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.18

Sottrai $0.571$ da $4$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + {3.429}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.19

Eleva $3.429$ alla potenza di $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 11.758041 \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.20

Moltiplica $11.758041$ per $0.013$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.21

Moltiplica $- 1$ per $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + {(5 - 0.571)}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.22

Sottrai $0.571$ da $5$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + {4.429}^{2} \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.23

Eleva $4.429$ alla potenza di $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + 19.616041 \cdot 0.007$

Passaggio 7.1.24

Moltiplica $19.616041$ per $0.007$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + 0.13731228$

Passaggio 7.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $0.20866624$ e $0.04104114$ .

$0.24970738 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + 0.13731228$

Passaggio 7.2.2

Somma $0.24970738$ e $0.18378369$ .

$0.43349107 + 0.1593011 + 0.15285453 + 0.13731228$

Passaggio 7.2.3

Somma $0.43349107$ e $0.1593011$ .

$0.59279218 + 0.15285453 + 0.13731228$

Passaggio 7.2.4

Somma $0.59279218$ e $0.15285453$ .

$0.74564671 + 0.13731228$

Passaggio 7.2.5

Somma $0.74564671$ e $0.13731228$ .

$0.882959$